Pangkat Rasional

Untuk `a` dan `b` bilangan real bukan nol, `p` dan `q` bilangan rasional berlaku beberapa sifat eksponen rasional berikut adalah:

  1. `a^p \xx a^q = a^(p+q)` contoh `a^5 \xx a^3 = a^8`
  2. `a^p / a^q = a^(p-q)` contoh `a^5 \xx a^3 = a^2`
  3. `(a^p)^q = a^(pq)` contoh `(a^5)^3 = a^15`
    1. `(a \xx b)^p = a^p \xx b^p` contoh `(6^5) = (2 \xx 3)^5 = 2^5 \xx 3^5`
    2. `(a / b)^p = a^p / b^p` contoh `(3^5) = (6/2)^5 = 6^2 / 2^5`
    1. `a^p = 1/a^-p` contoh `3^-5 = 1/3^-5`
    2. `1/a^-p = a^p` contoh `1/2^-3 = 2^3`
  6. `a^0 = 1` contoh `3^0 = 1`, `0,0002^0 = 1`, `(1/20000)^0 = 1`
  7. `a^(p/q) = \root {q}{a^p} = (\root{q}{a})^p`
    `p` bilangan bulat, `q` bilangan asli lebih dari `1` dan `\root {q}{a^p} \in R` contoh `(8)^(2/3) = (\root {3}{8})^2`

Bentuk `a^f(x) = 1 `, `a>0 \^^ a != 1`

maka `f(x) = 0`

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari `4^(3x+1) = 1`

Jawab: `4^(3x+1) = 1` maka,

`3x+1` `=`   `0`
`3x` `=`    `-1`
`x` `=`    `-1/3`
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah `{-1/3}`

Bentuk `a^f(x) = a^p `, `a>0 \^^ a != 1`

maka `f(x) = p`

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari `4^(3x-1) = 8`

Jawab: Ubah `4^(3x-1) = 8` menjadi `(2^2)^(3x-1) = 2^3` maka,

`2(3x-1)` `=`   `3`
`6x-2` `=`    `3`
`6x` `=`    `3+2`
`6x` `=`    `5 \hArr x = 5/6`
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah `{5/6}`

Bentuk `a^f(x) = a^(q(x))`, `a>0 \^^ a != 1`

maka `f(x) = q(x)`

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari `8^(3x+1) = 1/4^(x-1)`

Jawab: Ubah `8^(3x+1) = 1/4^(x-1)` menjadi `(2^3)^(3x+1) = ((2^2)^(x-1))^-1 \hArr 2^(3(3x+1)) = 2^(2(x-1)(-1))` maka,

`3(3x+1)` `=`   `2(x-1)(-1)`
`9x+3` `=`    `-2x+2`
`9x+2x` `=`    `2-3`
`11x` `=`    `-1 \hArr x = -1/11`
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah `{-1/11}`

Bentuk `a^f(x) = b^(f(x)) `, `a>0`,`b>0, a!=b \^^ a!=1 `, `b != 1`

maka `f(x) = 0`

Contoh: Tentukan penyelesaian dari `8^(x^2+3x-10) = 5^(x^2+3x-10)`

Jawab: `8^(x^2+3x-10) = 5^(x^2+3x-10)` maka,

`x^2+3x-10` `=`   `0`
`(x+5)(x-2)` `=`    `0`
diperoleh `x+5=0 \rArr x = -5 \vv x-2=0 \rArr x=2`
Jadi penyelesaiannya `x=-5 \vv x=2`

Bentuk `(h(x))^f(x) = (h(x))^(g(x)) `

Bentuk tersebut dapat ditulis `h^(f(x))(x) = h^(g(x))(x) ` dan penyelesaian bentuk ini ada beberapa tahap, yaitu:
  1. `f(x)=g(x)`
  2. `h(x)=1`
  3. `h(x)=0` dengan syarat `f(x)>0 \^^ g(x)>0`
  4. `h(x)=-1` dengan syarat `f(x)>0 \^^ g(x)>0` keduanya genap atau keduanya ganjil

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari `(x-7)^(2x-9) = (x-7)^(x+5)`

Jawab: anggap `h(x)= x-7`, `f(x)=2x-9`, `g(x)=x+5` maka,

  1. `f(x) = g(x)` maka
    `2x-9` `=`    `x-5`
    `2x-x` `=`    `9-5 \rArr x = 4`
  2. `h(x) = 1` maka
    `x-7` `=`    `1`
    `x` `=`    `1+7 \rArr x = 8`
  3. `h(x) = 0` maka
    `x-7` `=`    `0`
    `x` `=`    `7 `
    kita uji `f(7)=2(7)-9 = 14-9=5 >0` dan `g(7)=7+5=12 >0 `
    Karena `f(7)` dan `g(7)` keduanya keduanya lebih besar 0 mka `x=7` memenuhi syarat menjadi penyelesaian
  4. `h(x) = -1` maka
    `x-7` `=`    `-1`
    `x` `=`    `7-1 \rArr x = 6 `
    kita uji `f(6)=2(6)-9 = 12-9=3 \rArr f(6)` bilangan ganjil dan `g(6)=6+5=11 \rArr g(6)` bilangan ganjil.
    Karena `f(6)` dan `g(6)` keduanya ganjil sehingga `x=6` memenuhi syarat menjadi penyelesaian
Jadi himpunan penyelesaiannya `{4,6,7,8}`

Bentuk `(f(x))^g(x) = (h(x))^(g(x)) `

Bentuk tersebut dapat ditulis `f^(g(x))(x) = h^(g(x))(x) ` dan penyelesaian bentuk ini ada beberapa tahap, yaitu:
  1. `f(x)=h(x)`
  2. `g(x)=0` dengan syarat `f(x) != 0 \^^ h(x) != 0`

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari `(x+1)^(x^2 - 3x) = (2x-3)^(x^2 - 3x)`

Jawab: anggap `f(x)= x+1`, `h(x)=2x-3`, `g(x)=x^2 - 3x` maka,

  1. `f(x) = h(x)` maka
    `x+1` `=`    `2x-3`
    `x-2x` `=`    `-3-1 \rArr x = 4`
  2. `g(x) = 0` maka
    `x^2 - 3x` `=`    `0`
    `x(x-3)` `=`    `0 \rArr x = 0 \vv x=3`
    kita uji `f(0)=0+1 = 1 != 0` dan `h(0)=2(0)-3=-3!=0 `
    Karena `f(0)` dan `h(0)` keduanya keduanya bukan 0 mka `x=0` memenuhi syarat menjadi penyelesaian
    kita uji `f(3)=3+1 = 4 != 0` dan `h(3)=2(3)-3=3!=0 `
    Karena `f(3)` dan `h(3)` keduanya keduanya bukan 0 mka `x=3` memenuhi syarat menjadi penyelesaian
Jadi himpunan penyelesaiannya `{0,3,4}`

Bentuk `(f(x))^g(x) = 1 `

Bentuk tersebut dapat ditulis `f^(g(x))(x) =1 ` dan penyelesaian bentuk ini ada beberapa tahap, yaitu:
  1. `f(x)=1`
  2. `f(x)=-1` dengan syarat `g(x)` bilangan genap
  3. `g(x)=0` dengan syarat `f(x) !=0`

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari `(3x-8)^(x^2 + 3x-4) = 1`

Jawab: anggap `f(x)= 3x-7`, `g(x)=x^2 + 3x - 4` maka,

  1. `f(x) = 1` maka
    `3x-7` `=`    `1`
    `3x` `=`    `1 + 7 \rArr x = 8/3`
  2. `f(x) = -1` maka
    `3x-7` `=`    `-1`
    `3x` `=`    `7-1 \rArr x = 2 `
    kita uji `g(2)=(2)^2 + 3(2) - 4 = 6` karena `g(2)` genap maka `x=2` memenuhi syarat menjadi penyelesaian
  3. `g(x) = 0` maka
    `x^2 + 3x-4` `=`    `0`
    `(x+4)(x-1)` `=`    `0 \rArr x = -4 \vv x=1 `
    kita uji `f(-4)=3(-4)-7=-19 !=0` karena `f(-4)` bukan nol `x=-4` memenuhi syarat menjadi penyelesaian
    kita uji `f(1)=3(1)-7=-4 !=0` karena `f(1)` bukan nol `x=1` memenuhi syarat menjadi penyelesaian
Jadi himpunan penyelesaiannya `{-4,1,2,8/3}`

Bentuk `A(a^f(x))^2 + B(a^f(x)) + C = 0 `

Bentuk tersebut dapat diawali dengan menggunakan penyelesaian persamaan kuadrat. Misal `z = a^f(x) ` maka bentuk tersebut menjadi `Az^2 + Bz + C =0` kemudian diselesaikan. Jika penyelesaiannya `z_1 \vv z_2` maka `a^f(x) = z_1 \vv a^f(x) = z_2` yang merupakan bentuk persamaan eksponen sebelumnya dan diselesaikan.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari `4^x -10 \xx 2^x + 16=0`

Jawab: Bentuk `4^x -10 \xx 2^x + 16=0` diubah menjadi `(2^2)^x -10 \xx 2^x + 16=0 \hArr (2^x)^2 -16 \xx 2^x + 10=0`. Misal `z = 2^x` maka bentuk tersebut menjadi `z^2 - 10z + 16 = 0` dan,

`z^2 - 10z + 16` `=`    `0`
`(z-2)(z-8)` `=`    `0 \rArr z = 2 \vv z=8`
sehingga `2^x = 2 \rArr x = 1` atau `2^x = 8 = 2^3 \rArr x = 3`
Jadi himpunan penyelesaiannya `{1,3}`

Bentuk `a^f(x) >= a^g(x) `

Perlu diperhatikan nilai `a`, jika
  1. `a>1 \rArr f(x) >= g(x)`
  2. `0< a <1 \rArr f(x) <= g(x)`
Contoh:
    Tentukan penyelesaian dari
  1. `2^(2x-1) > 8^(3+x)`
    Jawab:
      `2^(2x-1) > 8^(3+x) \hArr 2^(2x-1) > 2^(3(3+x))` maka,
      `2x - 1 > 3(3+x) \hArr 2x - 1 > 9 + 3x \hArr -x > 10`
      Jadi penyelesaiannya `x < - 10`
  2. `(1/4)^(x^2) >= 8^x`
    Jawab:
      `(1/4)^(x^2) >= 8^x \hArr (1/2)^(2x^2) >= (1/2)^(-3x)` maka,
      `2x^2 <= -3x \hArr 2x^2 + 3x <= 0 \hArr x(2x+3) <= 0`
      Jadi penyelesaiannya `- 1/2 <= x <= 0`

Bentuk `a^f(x) <= a^g(x) `

Perlu diperhatikan nilai `a`, jika
  1. `a>1 \rArr f(x) <= g(x)`
  2. `0< a< 1 \rArr f(x) >= g(x)`
Contoh:
    Tentukan himpunan penyelesaian dari
  1. `2^(2x+1) <= \root{3}{2^(1+x)}`
    Jawab:
      `2^(2x+1) <= \root{3}{2^(1+x)} \hArr 2^(2x+1) <= 2^((1+x)/3)` maka,
      `2x + 1 <= (1+x)/3 \hArr 6x + 3 <= 1 + x \hArr 5x <= -2`
      Jadi himpunan penyelesaiannya `{x <= - 2/5}`
  2. `(1/4)^(x^2) <= 2((1/8)^(x-1))`
    Jawab:
      `(1/4)^(x^2) <= 2((1/8)^x) \hArr (1/2)^(2x^2) <= (1/2)^(3x-1)` maka,
      `2x^2 >= 3x-1 \hArr 2x^2 - 3x + 1 >= 0 \hArr (2x-1)(x-1) >= 0`
      Jadi himpunan penyelesaiannya `{x< 1/2 \vv x> 1}`

Simulasi Grafik

Free Web Hosting