Jarak dua buah objek merupakan jarak paling dekat dari dua objek tersebut. Jarak antar objek dalam bidang dimensi tiga merupakan materi bahasan kali ini. Untuk menentukan jarak dua titik dapat dilakukan secara langsung dengan mengukur (bila memungkinkan) atau dengan mengubah objek titik kedalam bidang koordinat cartesius.
Misal kedua titik adalah `A` dan `B`, serta jarak mereka dilambangkan dengan `|AB|` maka untuk menghitung jarak kedua titik dapat dilakukan dengan beberapa cara diantaranya,
Jika kedua titik `A(x_a,y_a,z_a)` dan `B(x_b,y_b,z_b)`, maka,
Jika kedua titik `A` , `B`, dan membentuk vektor `\vec{AB}= p \vec{i} + q \vec{j} + r \vec{k}` maka,
`|AB|=\sqrt(p^2+q^2+r^2)`
`
Jarak Titik dan Garis
Jarak sebuah Titik ke Garis dapat dilakukan dengan mengukur jarak titik tersebut ke proyeksi ortogonal titik itu ke garis. Beberapa cara menentukan jarak Titik ke Garis dapat dilakukan dengan beberapa cara,
Misal titik `A` ke garis `p`
buat dua titik pada garis `p`, misal `B` dan `C`, dan jarak titik `A` ke garis `p` adalah `d` maka
`d= 2 \xx text{luas segitiga ABC}/|BC|`
buat vektor yang sejajar `p`, misal `\vec{p}`, dan buat titik pada garis `p` misal `B`. Jika jarak titik `A` ke garis `p` adalah `d` maka
`d= |\vec{BA} \xx \vec{p}|/|\vec{p}|`
Jarak Titik dan Bidang
Jarak Titik ke Bidang sama dengan mengukur atau menghitung jarak titik tersebut ke proyeksi ortogonal titik ke bidang. Beberapa cara menentukan jarak Titik ke Bidang dapat dilakukan dengan beberapa cara,
Misal titik `A` ke bidang `v`
buat garis yang tegak lurus bidang `v` yang melalui titik `A` kemudian cari titik perpotongan (titik tembus) garis tersebut dengan bidang `v`, misal titik `B`. Jarak titik `A` ke titik `B` sama dengan jarak titik `A` ke bidang `v`. Garis yang tegak lurus bidang disebut garis normal bidang dan vektor yang tegak lurus bidang disebut vektor normal bidang. Garis normal bidang akan selalu tegak lurus pada setiap garis pada bidang. Garis normal bidang dapat diambil garis yang tegak lurus pada dua garis (tidak sejajar) pada bidang.
buat dua vektor (tidak sejajar) pada bidang `v` misal `\vec p` dan `\vec q` untuk mendapatkan garis normal bidang `v`. Jika vektor normal bidang `v` adalah `\vec {v_n)` maka
`\vec {v_n} = \vec p \xx \vec q`
Jika diambil titik `B` pada bidang `v` maka jarak titik `A` ke bidang `v` sama dengan proyeksi skalar (panjang vektor proyeksi ortogonal) `\vec {AB}` ke `\vec{v_n}`. Jadi jika `d` jarak titik `A` ke bidang `v` maka
Untuk memastikan bahwa beberapa garis sejajar dapat dilakukan dengan membandingkan vektor yang sejajar dengan masing-masing garis. Jika vektor-vektor tersebut dapat dibandingkan maka garis-garis tersebut sejajar.
Jarak dua garis yang sejajar dapat dilakukan membuat garis yang tegak lurus kedua garis kemudian mengukur jarak dua titik potongnya di masing-masing garis. Perhitungan jarak dapat dilakukan juga dengan memilih sebuah titik disalah satu garis dan menghitung jarak titik tersebut ke garis lainnya (lihat materi Jarak Titik dan Garis). Misal dua garis sejajar `p` dan `q` sejajar dengan vektor `\vec p`, dan dapat ditemukan titik `A` di garis `q`, titik `B` di garis `p` maka jarak kedua garis adalah
`d= |\vec{BA} \xx \vec{p}|/|\vec{p}|`
Jarak Garis dan Bidang Sejajar
Sebuah garis sejajar pada bidang bila garis normal bidang tegak lurus garis tersebut. Misal garis `p` sejajar bidang `v` maka vektor yang sejajar garis `p` (ambil `\vec p`) tegak lurus vektor yang sejajar garis normal bidang `v` (ambil `\vec(v_n)`) artinya berlaku `\vec p . \vec(v_n) = 0`.
Jika garis dan bidang sejajar maka jarak garis ke bidang dapat ditentukan dengan menghitung jarak sebuah titik pada garis ke bidang tersebut (lihat materi jarak Titik dan Bidang). Misal pada garis `p` diambil titik `A` dan dibidang `v` diambil titik `B` maka jarak garis `p` ke bidang `v` adalah
`d= |\vec{AB} . \vec{v_n}|/|\vec{v_n}|`
Jarak Bidang dan Bidang Sejajar
Beberapa bidang sejajar jika garis normal mereka sejajar atau vektor garis normal mereka dapat dibandingkan. Untuk menentukan jarak dua bidang yang sejajar dapat dilakukan dengan membuat sebuah garis normal untuk kedua bidang tersebut kemudian jarak kedua bidang sama dengan jarak titik tembus garis normal itu ke masing-masing bidang.
Diketahui bidang `u` sejajar bidang `v`. Jika vektor normal bidang `u` dipilih `\vec{u_n}` dan vektor normal bidang `v` dipilih `\vec {v_n}` (cara mengambil vektor yang sejajar garis normal bidang dapat dibaca pada materi jarak Titik dan Bidang) maka kedua vektor dapat dibandingkan. Dengan mengambil titik `A` pada bidang `u` dan titik `B` pada bidang `v` maka jarak kedua bidang adalah
`d= |\vec{BA} . \vec{u_n}|/|\vec{u_n}|` atau `d= |\vec{BA} . \vec{v_n}|/|\vec{v_n}|`
Jarak Garis dan Garis Bersilangan
Garis dan garis bersilangan bilamana vektor yang sejajar masing-masing garis tidak dapat dibandingkan. Untuk menentukan jarak dua garis bersilangan dapat dilakukan dengan membuat satu garis yang tegak lurus garis-garis tersebut kemudian menentukan titik potong garis itu ke masing-masing garis. Jarak garis yang bersilangan merupakan jarak antara kedua titik potong tersebut. Misal garis`p` dan garis `q` bersilangan maka jarak mereka dapat juga dihitung dengan memilih vektor yang sejajar garis `p` (ambil `\vec p`), memilih vektor yang sejajar garis `q` (ambil `\vec q`), memilih sebuah titik di garis `p` (ambil titik `A`), dan mimilih titik di garis `q` (misal `B`), kemudian jarak kedua garis dihitung dengan
`d= |\vec{AB} .(\vec p \xx \vec q)| /|\vec p \xx \vec q|`
Sudut Garis dan Garis
Sudut antara garis adalah sudut lancip yang dibentuk antara salah satu garis (garis yang sejajar) dengan garis lainnya. Untuk menentukan sudut antara garis `p` dan garis `q` dapat dilakukan dengan beberapa cara,
Bila `p` tidak sebidang dengan garis `q` (`p` dan `q` bersilangan) dibuat garis sejajar dengan garis `p` yang sebidang dengan `q` (ambil `p'`). Membuat segitiga dengan sisi `a` di garis `p` atau garis `p'` dan sisi `b` digaris `q`. Sisi `a` dan `b` mengapit sudut antara garis `p` atau `p'` dan garis `q`, melengkapi sisi segiga lainnya (ambil `c`). Pertimbangan pemilihan sisi `a`, `b`, dan `c` adalah kemudahan dalam menentukan ukuran panjangnya. Jika sudut garis `p` dan `q` adalah `\alpha` maka nilai,
`cos(\alpha) = (a^2 + b^2 - c^2 )/{2ab}`
Buat vektor yang sejajar garis `p` (ambil `\vec p`) dan vektor yang sejajar garis `q` (ambil `\vec q`). Jika sudut garis `p` dan `q` adalah `\alpha` maka nilai,
`cos(\alpha) = (|\vec p . \vec q |)/(|\vec p||\vec q|)`
Sudut Garis dan Bidang
Sudut antara garis dan bidang sama dengan sudut antara garis proyeksi ortogonal kebidang dengan garis tersebut. Jika vektor yang sejajar garis `p` diambil `\vec p` dan vektor yang sejajar garis normal bidan v diambil `\vec {v_n} dan sudut antara garis `p` dengan bidang `v` adalah `\alpha` maka,
`sin(\alpha) = (|\vec p . \vec {v_n}| )/(|\vec p||\vec {v_n}|)`
Untuk memilih vektor normal bidang dapat dilihat pada materi Titik dan Bidang.
Sudut Bidang dan Bidang
Untuk menentukan sudut antar bidang dapat dilakukan langkah,
membuat garis perpotongan kedua bidang
membuat garis tegak lurus garis perpotongan kedua bidang di masing-masing bidang
sudut antar bidang sama dengan sudut antara dua garis yang tegak lurus garis perpotongan kedua bidang tersebut
untuk menentukan besar sudutnya dapat digunakan prinsip menghitung sudut antara garis dengan garis (materi Garis dan Garis).
Sudut antara dua bidang dapat juga ditentukan dengan menghitung sudut antara garis normal kedua bidang. Misal dua bidang `u` dan bidang `v` masing-masing mempunyai garis normal `u_n` (diambil vektor garis normal `\vec {u_n}`) dan `v_n` (diambil vektor garis normal `\vec {v_n}`). Jika sudut antara kedua bidang `\alpha` maka nilai,
Jika `\vec u = u_1\vec i + u_2\vec j + u_3\vec k` maka panjangnya `|\vec u | = \sqrt{(u_1)^2 + (u_2)^2 + (u_3)^2}`
Jika `\vec u = u_1\vec i + u_2\vec j + u_3\vec k` dan `\vec v = v_1\vec i + v_2\vec j + v_3\vec k` membentuk sudut `\alpha` maka berlaku,
`\vec u + \vec v = (u_1 + v_1)\vec i + (u_2 + v_2)\vec j +(u_3 + v_3)\vec k `, dan `|\vec u + \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 + 2|\vec u||\vec v|cos(\alpha)` `\vec u - \vec v = (u_1 - v_1)\vec i + (u_2 - v_2)\vec j +(u_3 - v_3)\vec k `, dan `|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2|\vec u||\vec v|cos(\alpha)` `|\vec u + \vec v|^2 + |\vec u - \vec v|^2 = 2(|\vec u|^2 + |\vec v|^2)`
Jika `\vec u = u_1\vec i + u_2\vec j + u_3\vec k` dan `\vec v = v_1\vec i + v_2\vec j + v_3\vec k` membentuk sudut `\alpha` maka berlaku,
`\vec u . \vec v = (u_1)(v_1) + (u_2)(v_2) +(u_3)(v_3) `, dan `\vec u . \vec v = |\vec u| |\vec v|` `cos(\alpha)` `\vec u \xx \vec v = |[[u_2,u_3],[v_2,v_3]]|\vec i - |[[u_1,u_3],[v_1,v_3]]|\vec j +|[[u_1,u_2],[v_1,v_2]]|\vec k `, dan `|\vec u \xx \vec v| = |\vec u||\vec v|` `sin(\alpha)` `(\vec u . \vec v)^2 + |\vec u \xx \vec v|^2 = |\vec u|^2 |\vec v|^2`
Rumus Luas Segitiga
Jika alas segitiga `a` dan tinggi segitiga `t` maka luas segitiga `L_{\Delta} = 1/2 at` Perhatian: alas segitiga merupakan salah stu sisi segitiga dan tinggi segitiga adalah jarak titik segitiga yang diluar alas ke alas segitiga tersebut).
Segitiga dengan sisi `a`, `b`, dan `c` mempunyai luas,
Jarak dua buah objek merupakan jarak paling dekat dari dua objek tersebut. Jarak antar objek dalam bidang dimensi tiga merupakan materi bahasan kali ini. Untuk menentukan jarak dua titik dapat dilakukan secara langsung dengan mengukur (bila memungkinkan) atau dengan mengubah objek titik kedalam bidang koordinat cartesius.
Jarak sebuah Titik ke Garis dapat dilakukan dengan mengukur jarak titik tersebut ke proyeksi ortogonal titik itu ke garis. Beberapa cara menentukan jarak Titik ke Garis dapat dilakukan dengan beberapa cara,
Jarak Titik ke Bidang sama dengan mengukur atau menghitung jarak titik tersebut ke proyeksi ortogonal titik ke bidang. Beberapa cara menentukan jarak Titik ke Bidang dapat dilakukan dengan beberapa cara,
Untuk memastikan bahwa beberapa garis sejajar dapat dilakukan dengan membandingkan vektor yang sejajar dengan masing-masing garis. Jika vektor-vektor tersebut dapat dibandingkan maka garis-garis tersebut sejajar.
Sebuah garis sejajar pada bidang bila garis normal bidang tegak lurus garis tersebut. Misal garis `p` sejajar bidang `v` maka vektor yang sejajar garis `p` (ambil `\vec p`) tegak lurus vektor yang sejajar garis normal bidang `v` (ambil `\vec(v_n)`) artinya berlaku `\vec p . \vec(v_n) = 0`.
Beberapa bidang sejajar jika garis normal mereka sejajar atau vektor garis normal mereka dapat dibandingkan. Untuk menentukan jarak dua bidang yang sejajar dapat dilakukan dengan membuat sebuah garis normal untuk kedua bidang tersebut kemudian jarak kedua bidang sama dengan jarak titik tembus garis normal itu ke masing-masing bidang.
Garis dan garis bersilangan bilamana vektor yang sejajar masing-masing garis tidak dapat dibandingkan. Untuk menentukan jarak dua garis bersilangan dapat dilakukan dengan membuat satu garis yang tegak lurus garis-garis tersebut kemudian menentukan titik potong garis itu ke masing-masing garis. Jarak garis yang bersilangan merupakan jarak antara kedua titik potong tersebut.
Sudut antara garis adalah sudut lancip yang dibentuk antara salah satu garis (garis yang sejajar) dengan garis lainnya.
Sudut antara garis dan bidang sama dengan sudut antara garis proyeksi ortogonal kebidang dengan garis tersebut.
Untuk menentukan sudut antar bidang dapat dilakukan langkah,
Pada segitiga siku-siku gambar (1) berlaku rumus perbandingan trigonometri,